1 、数字表示
一、数制转换🧀
\[ 十进制\leftrightarrow 二进制 \leftrightarrow 十六进制 \]
| 十进制 | 二进制 | 十六进制 | |
|---|---|---|---|
| 十进制 | — | 除二取余 | 除16取余 |
| 二进制 | 按权展开 | — | 四位分组 |
| 十六进制 | 按权展开 | 一位展四位 | — |
二、unsigned🧀
无符号整数是最简单的数字表示方法，超出表示范围就会回到初始值（即一个循环）
比如一个五位的无符号整数，超出 \(32\) 之后就会回到 \(0\) ，比 \(0\) 小就会来到 \(32\)
三、负数表示？🧀
1、符号＋数值🧀
最高位表示符号：
\[ \begin{cases} 0 \rightarrow 正 \\[6pt] 1 \rightarrow 负 \end{cases} \]
例如
2、一补🧀
负数：取反
例如
问题：仍然存在 \(\pm0\)
3、二补🧀
现代计算机全部使用。最高位还是符号位 \(0\) 表示正数，\(1\) 表示负数
计算方法：\(负数 = 取反 + 1\) ，范围 \([-2^{N-1} , 2^{N-1}-1]\) （相当于借了一半正数给负数）
例： $$ 3 = 0011 \rightarrow 1100 \rightarrow 1101 \rightarrow -3 $$
补码转十进制
对于 N 位数：
\[ v = \mathbf{-d_{N-1} \cdot 2^{N-1}} + \cdots + d_1 \cdot 2^1 + d_0 \cdot 2^0 \]
例如： $$ 1101 = -8 + 4 + 0 + 1 = -3 $$
四、浮点数🧀
1、定点🧀
小数点后的展开就是 \(2^{-1},2^{-2}……\) 。可以看作没有小数点的，再除以 \(2^{小数点左移}\)
2、浮点（IEEE-754）🧀
\[ 6.02_{ten}\times10^{23}\\[6pt] 1.01_{two}\times2^{-1} \]
二进制科学计数法与十进制类似，但是左边第一位永远是 \(1\) ，并不存储。为了减少溢出问题，我们拓展位数即可，所以有了 double。
（1）正规数🧀
Bias
存储的时候指数位是有偏移的。
- 避免存负指数（硬件简单）
- 保证指数大小顺序正确（方便比较和排序）
- 预留特殊编码（\(0、∞、NaN\)）
选择 bias = 127 因为指数位是 \(8\) 位（\(0\to255\)），然后IEEE想让指数范围对称：（\(-126 \to +127\)）
\[ \boxed{x = (-1)^S \times \text(1.f)_B \times 2^{(\text{指数位} - 127)}} \]
特殊数字
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{指数} & \text{Fraction} & \text{Value} & \text{说明} \\ \hline 0 & 0 & \pm 0 & \text{正零 / 负零} \\ \hline 0 & \neq 0 & \text{Denormal} & \text{非正规数（subnormal）} \\ \hline 1\sim254 & \text{anything} & \pm (-1)^S(1+f)2^{E-127} & \text{普通浮点数} \\ \hline 255 & 0 & \pm \infty & \text{正无穷 / 负无穷} \\ \hline 255 & \neq 0 & NaN & \text{Not a Number} \\ \hline \end{array} \]
（2）非正规数🧀
为了填补 \(0\) 到最小正数中间的一段，引入非正规数来填补这段空缺（underflow）。
非正规数没有先导 \(1\) ，\(E=0\)
\[ \boxed{x = (-1)^S \times (0.f)_B \times 2^{-126}} \]
\[ MIN=2^{-23} \times 2^{-126} = 2^{-(23+126)} = 2^{-149} \]
Tip
靠近 0 很密，越远离 0 越稀疏。这是因为 有效位数固定，而指数在增长。
3、误差舍入🧀
\[ \begin{aligned} x &= -1.5 \times 10^{38}, \quad y = 1.5 \times 10^{38}, \quad z = 1.0 \\[6pt] x + (y + z) &= -1.5 \times 10^{38} + (1.5 \times 10^{38} + 1.0) \\ &\approx -1.5 \times 10^{38} + 1.5 \times 10^{38} \\ &= 0.0 \\[10pt] (x + y) + z &= (-1.5 \times 10^{38} + 1.5 \times 10^{38}) + 1.0 \\ &= 0.0 + 1.0 \\ &= 1.0 \\[10pt] \therefore \quad x + (y + z) \ne (x + y) + z \end{aligned} \]
| 舍入模式 | 规则 | 特点 |
|---|---|---|
| ⭐最接近值（偶数优先） | 选择最接近的数；如果刚好在中间，选择最低有效位为偶数的数 | IEEE-754 默认模式，避免统计偏差 |
| 向 0 舍入 | 直接截断，多余部分丢掉 | 类似整数除法 |
| 向正无穷舍入 | 向更大的数舍入 | 保证结果 ≥ 真值 |
| 向负无穷舍入 | 向更小的数舍入 | 保证结果 ≤ 真值 |