1 、数字逻辑基础
一、基础🧀
-
输入确定，输出也唯一确定 $$ F=f(A,B,C) $$
-
三种基本运算：与（逻辑乘），或（逻辑加），非（逻辑反）
- 表示方式：真值表、逻辑函数、卡诺图
| 逻辑运算 | 表达式 |
|---|---|
| 与 | \(F=A·B\) |
| 或 | \(F=A+B\) |
| 非 | \(F=\bar A\) |
1、常见等值式🧀
1）双重否定律 $$ A \equiv \overline{\overline{A}} $$
2）幂等律 $$ A \equiv A + A $$ $$ A \equiv A \cdot A $$
3）交换律 $$ A + B \equiv B + A $$ $$ A \cdot B \equiv B \cdot A $$
4）结合律 $$ (A + B) + C \equiv A + (B + C) $$ $$ (A \cdot B) \cdot C \equiv A \cdot (B \cdot C) $$
5）分配律 $$ A + (B \cdot C) \equiv (A + B) \cdot (A + C) $$ $$ A \cdot (B + C) \equiv (A \cdot B) + (A \cdot C) $$
6）德摩根律 $$ \overline{A + B} \equiv \overline{A} \cdot \overline{B} $$ $$ \overline{A \cdot B} \equiv \overline{A} + \overline{B} $$
7）吸收律 $$ A + (A \cdot B) \equiv A $$ $$ A \cdot (A + B) \equiv A $$
8）零律（支配律） $$ A + 1 \equiv 1 $$ $$ A \cdot 0 \equiv 0 $$
9）同一律（恒等律） $$ A + 0 \equiv A $$ $$ A \cdot 1 \equiv A $$
10）排中律 $$ A + \overline{A} \equiv 1 $$
11）矛盾律 $$ A \cdot \overline{A} \equiv 0 $$
2、规则🧀
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代入规则：把某个变量用逻辑式代替仍旧成立
-
🌟反演规则： 变量换成反变量（\(\overline{A} \leftrightarrow A\)）；与或互变；常量 “0” “1”互换，
- 🌟对偶规则：变量不变；与或互变；常量 “0” “1”互换
3、复合🧀
| 名称 | 英文缩写 | 逻辑表达式 | 真值特性 |
|---|---|---|---|
| 与非门 | NAND | \(\overline{A \cdot B}\) | 除了 \(A=B=1\) 时输出 0，其余全是 1 |
| 或非门 | NOR | \(\overline{A + B}\) | 只有 \(A=B=0\) 时输出 1，其余全是 0 |
| 异或门 | XOR | \(A \oplus B = \overline{A}B + A\overline{B}\) | 输入不同 → 输出 1，相同 → 输出 0 |
| 同或门 | XNOR | \(\overline{A \oplus B} = AB + \overline{A}\,\overline{B}\) | 输入相同 → 输出 1，不同 → 输出 0 |
| 与或非门 | AOI | \(\overline{(A \cdot B) + (C \cdot D)}\) （一般形式） | 先做“与”，再做“或”，最后整体取反 |
完备集
- 异或，同或互为反函数，互为对偶函数
- 与或非是完备集，但不是最好的
- 与非/或非是最好的完备集
Example
| 构造门 | 使用 NAND | 使用 NOR | 公式/说明 |
|---|---|---|---|
| NOT | A NAND A | A NOR A | NAND/NOR 自身两个输入相同即可实现取反 |
| AND | (A NAND B) NAND (A NAND B) | (A NOR A) NOR (B NOR B) | 利用德摩根律或双重取反 |
| OR | (A NAND A) NAND (B NAND B) | (A NOR B) NOR (A NOR B) | 利用德摩根律将 NAND/NOR 转为 OR |
| NAND | 原门直接使用 | ( (A NOR A) NOR (B NOR B) ) NOR ( (A NOR A) NOR (B NOR B) ) | NOR 构造 NAND 时需两次组合 |
| NOR | ( (A NAND A) NAND (B NAND B) ) NAND ( (A NAND A) NAND (B NAND B) ) | 原门直接使用 | NAND 构造 NOR 时需两次组合 |
4、数制🧀
- 8421 BCD码（有权码）：用四位二进制表示一位十进制（e.g. \(10 \rightarrow 0001\text{ }0000\)
- 余3码（无权码）：在8421基础上加上 \((0011)_B\) 的结果，也就是加上3
二、逻辑函数化简🧀
与或式（最小项表达式），或与式（最大项表达式），与或非式，与非与非式，或非或非式
- 最小项：每个变量都以原变量或者反变量出现一次构成的与项，\(n\) 变量共有 \(2^n\) 个最小项
- 全部最小项和恒为1
- 任意两个最小项乘积为0
- \(n\) 变量有 \(n\) 个相邻项，可以合并并消去一个因子
- 全部最小项和恒为1
- 最大项：每个变量都以原变量或者反变量出现一次构成的或项，\(n\) 变量共有 \(2^n\) 个最小项
- 只有一组取值让最大项为0
- 全部最大项乘积为0
- \(M_i+M_j=1\)
- 只有一组取值让最大项为0
1、等值演算法🧀
等值演算就是利用上面的等值式对于表达式进行化简即可。
等值演算法
求 \(F = AB + \overline{A}C\) 的最小项表达式（标准与或式）
- 展开把缺项补成 \((X + \overline X)\)
- 这里下标就是看是原变量然后那一位为1，比如 \(AB\overline C\) 就是 \(110\) ，就是 \(m_6\)
与非-与非式
先化成最小项，然后两次取反
2、真值表法🧀
真值表法：最小项就是表达式值为 \(1\) 的求和，最大项就是表达式值为 \(0\) 的求积。
真值表法
求 \(F=A+BC\) 的最小/大项表达式
| A | B | C | A+BC |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
\(\therefore F=\sum m(3,4,5,6,7)=\prod M(0,1,2)\)
3、卡诺图法🧀
（1）一般卡诺图🧀
给出逻辑函数，在卡诺图中标出所有符合要求的最小项，然后开始圈卡诺圈
- 相邻项只有一位不同，格雷码
- \(n\) 变量有 \(2^n\) 个方格，有 \(n\) 个相邻项
- 🌟同写异不写
- 任何几何相邻的都逻辑相邻
- 几何相邻：相接，相对，相重
- 逻辑相邻：只有一个变量取值不同
格雷码
- 格雷码 → 二进制：
a ^ (a >> 1)- 1011 → 1011 ^ 101 → 1110
- 二进制 → 格雷码：格雷码对应位异或二进制上一位
逻辑函数 → 卡诺图
- 给最小项标准式：构成逻辑函数的最小项在卡诺图上对应的方格填1，其余不填
- 给最大项标准式：构成逻辑函数的最大项在卡诺图上对应的方格填0，其余不填
卡诺图化简
- 本质就是逻辑相邻的可以化简
\(F=AB\overline CD+AB\overline C \overline D=AB\overline C\)
- 卡诺圈只含 \(2^i\) 格子，且矩形，消去 \(i\) 个变量
- 圈 \(1\) 相乘再相加就是最小项标准式，圈 \(0\) 相加再相乘就是最大项标准式
- 如果一个卡诺圈里面所有 \(1\) 都被其他圈圈过，这是一个多余圈
- 与或表达式写成电路以后所有与门换成与非门也成立（根据De-Morgan）
（2） 含无关项/约束项🧀
约束项标 “X” ，可以当 \(0\) 或者 \(1\) 用，也可以不用圈完
