1 、数字逻辑基础

一、基础
二、逻辑函数化简

一、基础🧀

输入确定，输出也唯一确定 $$ F=f(A,B,C) $$
三种基本运算：与（逻辑乘），或（逻辑加），非（逻辑反）
表示方式：真值表

逻辑运算	表达式
与	$F=A·B$
或	$F=A+B$
非	$F=\bar A$

1、常见等值式🧀

1）双重否定律
$$ A \equiv \overline{\overline{A}} $$

2）幂等律
$$ A + A \equiv A $$

\[ A \cdot A \equiv A \]

3）交换律
$$ A + B \equiv B + A $$

\[ A \cdot B \equiv B \cdot A \]

4）结合律
$$ (A + B) + C \equiv A + (B + C) $$

\[ (A \cdot B) \cdot C \equiv A \cdot (B \cdot C) \]

5）分配律
$$ A + (B \cdot C) \equiv (A + B) \cdot (A + C) $$

\[ A \cdot (B + C) \equiv (A \cdot B) + (A \cdot C) \]

6）德摩根律
$$ \overline{A + B} \equiv \overline{A} \cdot \overline{B} $$

\[ \overline{A \cdot B} \equiv \overline{A} + \overline{B} \]

7）吸收律
$$ A + (A \cdot B) \equiv A $$

\[ A \cdot (A + B) \equiv A \]

8）零律（支配律）
$$ A + 1 \equiv 1 $$

\[ A \cdot 0 \equiv 0 \]

9）同一律（恒等律）
$$ A + 0 \equiv A $$

\[ A \cdot 1 \equiv A \]

10）排中律
$$ A + \overline{A} \equiv 1 $$

11）矛盾律
$$ A \cdot \overline{A} \equiv 0 $$

2、规则🧀

代入规则：把某个变量用逻辑式代替仍旧成立
反演规则：变量换成反变量（$\overline{A} \leftrightarrow A$）；与或互变；常量 “0” “1”互换，

\[ F = \overline{AB + C} \cdot D + AC \]

\[ \overline{F} = \left[\overline{(\overline A+\overline B)\overline C}+\overline D\right] \cdot(\overline A+\overline C) \]

对偶规则：变量不变；与或互变；常量 “0” “1”互换

\[ F = A + (B \cdot C) \]

\[ F_d = A \cdot (B + C) \]

3、复合🧀

名称	英文缩写	逻辑表达式	真值特性
与非门	NAND	$\overline{A \cdot B}$	除了 $A=B=1$ 时输出 0，其余全是 1
或非门	NOR	$\overline{A + B}$	只有 $A=B=0$ 时输出 1，其余全是 0
异或门	XOR	$A \oplus B = \overline{A}B + A\overline{B}$	输入不同 → 输出 1，相同 → 输出 0
同或门	XNOR	$\overline{A \oplus B} = AB + \overline{A}\,\overline{B}$	输入相同 → 输出 1，不同 → 输出 0
与或非门	AOI	$\overline{(A \cdot B) + (C \cdot D)}$ （一般形式）	先做“与”，再做“或”，最后整体取反

完备集

异或与同或的输出互为反值。
与、或、非共同构成一个功能完备集。
单独使用与非门（NAND）或或非门（NOR）也能构造所有基本逻辑运算，因此 NAND 和 NOR 都是功能完备的。

Example

构造门	使用 NAND	使用 NOR
NOT	`A NAND A`	`A NOR A`
AND	`(A NAND B) NAND (A NAND B)`	`(A NOR A) NOR (B NOR B)`
OR	`(A NAND A) NAND (B NAND B)`	`(A NOR B) NOR (A NOR B)`
NAND	原门直接使用	`((A NOR A) NOR (B NOR B)) NOR ((A NOR A) NOR (B NOR B))`
NOR	`((A NAND A) NAND (B NAND B)) NAND ((A NAND A) NAND (B NAND B))`	原门直接使用

4、数制🧀

8421 BCD 码（有权码）：每四位二进制表示一位十进制。例如，十进制 $10$ 表示为 $0001\ 0000$。
余 3 码（无权码）：每一位十进制数字的 8421 BCD 码都加上 $(0011)_2$，也就是加 $3$。

二、逻辑函数化简🧀

与或式（最小项表达式），或与式（最大项表达式），与或非式，与非与非式，或非或非式

最小项：每个变量都以原变量或者反变量出现一次构成的与项，$n$ 变量共有 $2^n$ 个最小项
全部最小项和恒为 1 -任意两个最小项乘积为 0
- $n$ 变量有 $n$ 个相邻项，可以合并消去一个因子
最大项：每个变量都以原变量或者反变量出现一次构成的或项，$n$ 变量共有 $2^n$ 个最小项
只有一组取值让最大项为 0
- 全部最大项乘积为 0
- $M_i + M_j = 1$

1、等值演算法🧀

等值演算就是利用上面的等值式对于表达式进行化简即可。

等值演算法

求 $F=AB+\overline{A}C$ 的最小项表达式（标准与或式）

展开把缺项补成 $(X + \overline X)$

\[ \begin{align*} F &= AB + \overline{A}C \\ &= AB(C + \overline{C}) + \overline{A}(B + \overline{B})C \\ &= ABC + AB\overline{C} + \overline{A}BC + \overline{A}\overline{B}C \\ &= m_7 + m_1 + m_3 + m_6 \\ &= \sum m(1,3,6,7) \end{align*} \]

这里下标就是看是原变量然后那一位为1，比如 $AB\overline C$ 就是 $110$ ，就是 $m_6$

与非-与非式

先化成最小项，再两次取反

\[ \begin{align} F = A(B + C) + BC &= AB + AC + BC &= \overline{\overline{AB + AC + BC}} &= \overline{\overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BC}} \end{align} \]

2、真值表法🧀

真值表法：最小项就是表达式值为 $1$ 的求和，最大项就是表达式值为 $0$ 的求积。

真值表法

求 $F = A + BC$ 的最小/大项表达式

A	B	C	A+BC
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

∴ $F = \sum m(3,4,5,6,7) = \prod M(0,1,2)$

3、卡诺图法🧀

（1）一般卡诺图🧀

给出逻辑函数，在卡诺图中标出所有符合要求的最小项，然后开始圈卡诺圈

相邻项只有一位不同，格雷码
$n$ 变量有 $2^n$ 个方格，有 $n$ 个相邻项
🌟同写异不写
任何几何相邻的都逻辑相邻
- 几何相邻：相接，相对，相重
- 逻辑相邻：只有一个变量取值不同

格雷码

格雷码 → 二进制： a ^ (a >> 1)
- 1011 → 1011 ^ 101 → 1110
二进制 → 格雷码：格雷码对应位异或二进制上一位

逻辑函数 → 卡诺图

给最小项标准式：构成逻辑函数的最小项在卡诺图上对应的方格填1，其余不填
给最大项标准式：构成逻辑函数的最大项在卡诺图上对应的方格填0，其余不填

卡诺图化简

本质就是逻辑相邻的可以化简

$F=AB\overline CD+AB\overline C \overline D=AB\overline C$

卡诺圈只含 $2^i$ 格子，且矩形，消去 $i$ 个变量
圈 $1$ 相乘再相加就是最小项标准式，圈 $0$ 相加再相乘就是最大项标准式
如果一个卡诺圈里面所有 $1$ 都被其他圈圈过，这是一个多余圈

与或表达式写成电路以后所有与门换成与非门也成立（根据De-Morgan）

（2）含无关项/约束项🧀

约束项标 “X” ，可以当 $0$ 或者 $1$ 用，也可以不用圈完