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计算机数据

一、位运算📌

基本的位运算共\(6\)种，分别为按位与、按位或、按位异或、按位取反、左移和右移。

1、与、或、异或📌

这三者都是两数间的运算，因此在这里一起讲解。

它们都是将两个整数作为二进制数，对二进制表示中的每一位逐一运算。

运算 运算符 数学符号表示 解释
与 & \(\And\) 只有两个对应位都为 \(1\) 时才为\(1\)
或 | \(\lor\) 只要两个对应位中有一个\(1\)时就为\(1\)
异或 ^ \(\oplus\) 只有两个对应位不同时才为\(1\)

异或运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即 \(a \oplus b \oplus b = a\)。

Tip

不用中间变量交换两个数 

1
2
3
4
5
void swap(int *x, int *y) {
    *x = *x ^ *y;
    *y = *x ^ *y;
    *x = *x ^ *y;
}

举例：

\[ \begin{aligned} 5 &=(101)_2\\ 6 &=(110)_2\\ 5\operatorname\&6 &=(100)_2 =\ 4\\ 5\operatorname|6 &=(111)_2 =\ 7\\ 5\oplus6 &=(011)_2 =\ 3\\ \end{aligned} \]

2、取反📌

单目运算。

它的作用是把 \(num\) 的二进制补码中的 \(0\)和\(1\)全部取反（\(0\)变为\(1\)，\(1\) 变为\(0\))。

Note

补码：在二进制表示下，正数和 \(0\) 的补码为其本身，负数的补码是将其对应正数 按位取反后加一。

举例（有符号整数）：

\[ \begin{aligned} 5&=(00000101)_2\\ \text{~}5&=(11111010)_2=-6\\ -5\text{ 的补码}&=(11111011)_2\\ \text{~}(-5)&=(00000100)_2=4 \end{aligned} \]

3、左移和右移📌

  • 左移：num << i
  • 右移：num >> i

举例：

\[ \begin{aligned} 11&=(00001011)_2\\ 11<<3&=(01011000)_2=88\\ 11>>2&=(00000010)_2=2 \end{aligned} \]

Tip

  • 左移 \(i\) 位相当于 \(\times 2^i\)
  • 右移 \(i\) 位相当于 \(\div 2^i(取整)\)

二、进制转换📌

  • 小数：小数部分\(\times 2\)，取整数部分

三、原码、反码、补码📌

类型 规则
原码 正数最高位为\(0\)，其他位不变；负数1最高位为\(1\)，其他位不变
反码 正数最高位为\(0\)，其他位不变；负数1最高位为\(1\)，其他位取反
补码 正数最高位为\(0\)，其他位不变；负数最高位为\(1\)，其他位取反再加\(1\)

Example

\(13\) \(-13\)
原码 \(00001101\) \(10001101\)
反码 \(00001101\) \(11110010\)
补码 \(00001101\) \(111110011\)

四、单精度浮点📌

block-beta
    columns 3
  block:group1:3
  %% columns auto (default)
  符号位 指数位 尾数位 
 end

  block:group2:3
    %% columns auto (default)
     1位 8位 23位
  end

Tip

  • 符号位： 正数为 \(0\)，负数为 \(1\)
  • \(step1:十进制转二进制\)
  • \(step2:转化成1.XXX的形式,XXX即为尾数\)
  • \(step3:指数+127偏移量，再转化为二进制\)
  • \(step4：拼接\)

Example

\(0.75的单精度浮点形式\)

\(①(0.75)_{10}=(0.11)_{2}\)

\(②0.11=1.1\times 10^{-1}，尾数为1\)

\(③指数位（8位，不够前面补0）：-1+127=126\Rightarrow 01111110\)

\(④拼接：0 \text{ }01111110\text{ } 10000000000000000000000\)